在圆心为O、半径为常数R的半圆板内画内接矩形（如图），当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积．

Question

在圆心为O、半径为常数R的半圆板内画内接矩形（如图），当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积．

Answer 1

设矩形在半圆板直径上的一边长为2x，α角如图所示，
则x=Rcosα，另一边的长为Rsinα，矩形面积S为
S=2R²sinαcosα．
=R²sin2α
当2α=(π)/(2)即α=(π)/(4)时，也即长为2Rcos(π)/(4)＝√(2)R，
宽为Rsin(π)/(4)＝(√(2))/(2)R时，矩形面积最大
最大面积是R²