是否存在不等于常数的函数f:R→R,使对所有x、y∈R

Question

是否存在不等于常数的函数f:R→R,使对所有x、y∈R

Answer 1

[f(x)-f(y)]^2≤|x-y|^3
→|(f(x)-f(y))/(x-y)|≤|x-y|^(1/2)
从而lim|(f(x)-f(y))/(x-y)|
≤lim|x-y|^(1/2)
=0.
∴f(x)在每个点y∈R处都可导,且f'(x)≡0.
∴它只能是常数.
故这样滴函数不存在!