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a、b是常数,关于x的一元二次方程x2+(a+b)x+3+ab2=0有实数解记为事件A.(1)若a、b分别表示投掷两枚均匀骰子出现的点数,求P(A);(2)若a∈R、b∈R,-6≤a+b≤6且-6≤a-b≤6,求P(A).
题目详情
a、b是常数,关于x的一元二次方程x2+(a+b)x+3+
=0有实数解记为事件A.
(1)若a、b分别表示投掷两枚均匀骰子出现的点数,求P(A);
(2)若a∈R、b∈R,-6≤a+b≤6且-6≤a-b≤6,求P(A).
ab |
2 |
(1)若a、b分别表示投掷两枚均匀骰子出现的点数,求P(A);
(2)若a∈R、b∈R,-6≤a+b≤6且-6≤a-b≤6,求P(A).
▼优质解答
答案和解析
(1)方程有实数解,(a+b)2-4(3+
)≥0,
即a2+b2≥12…(1分)
依题意,a=1、2、3、4、5、6,b=1、2、3、4、5、6,
所以,“投掷两枚均匀骰子出现的点数”共有6×6=36种结果…(2分)
当且仅当“a=1且b=1、2、3”,或“a=2且b=1、2”,
或“a=3且b=1”时,a2+b2≥12不成立…(5分),
所以满足a2+b2≥12的结果有36-(3+2+1)=30种…(6分),
从而P(A)=
=
…(7分).
(2)在平面直角坐标系aOb中,直线a+b=±6与a-b=±6
围成一个正方形…(8分)
正方形边长即直线a+b=±6与a-b=±6之间的距离为d=
=6
…(9分)
正方形的面积S=d2=72…(10分),
圆a2+b2=12的面积为S′=12π…(11分)
圆在正方形内部…(12分),
所以P(A)=
=
=
…(13分).
ab |
2 |
即a2+b2≥12…(1分)
依题意,a=1、2、3、4、5、6,b=1、2、3、4、5、6,
所以,“投掷两枚均匀骰子出现的点数”共有6×6=36种结果…(2分)
当且仅当“a=1且b=1、2、3”,或“a=2且b=1、2”,
或“a=3且b=1”时,a2+b2≥12不成立…(5分),
所以满足a2+b2≥12的结果有36-(3+2+1)=30种…(6分),
从而P(A)=
30 |
36 |
5 |
6 |
(2)在平面直角坐标系aOb中,直线a+b=±6与a-b=±6
围成一个正方形…(8分)
正方形边长即直线a+b=±6与a-b=±6之间的距离为d=
6+6 | ||
|
2 |
正方形的面积S=d2=72…(10分),
圆a2+b2=12的面积为S′=12π…(11分)
圆在正方形内部…(12分),
所以P(A)=
S−S′ |
S |
72−12π |
72 |
6−π |
6 |
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