1、在等比数列{an}中,已知a3+a6=36,a4+a7=18,an=1/2,求n的值2、已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn=2的an次方,n∈N*.（1）判断{an}是什么数列,并证明；（2）若a8+a13=1/2,求b1b2×……×b20.

Question

1、在等比数列{an}中,已知a3+a6=36,a4+a7=18,an=1/2,求n的值
2、已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn=2的an次方,n∈N*.
（1）判断{an}是什么数列,并证明；
（2）若a8+a13=1/2,求b1b2×……×b20.

Answer 1

1、在等比数列{an}中,a3+a6=36,a4+a7=18,an=1/2,求n的值.
解法一：设该等比数列的公比为q
则：
a(6) = a(3) × q³
a(7) = a(4) × q³
∵ a(3) + a(6) = 36
∴ a(3) + a(3) × q³ = 36
即 a(3) × ( 1 + q³ ) = 36 ----------------------------- ①
∵ a(4) + a(7) = 18
∴ a(4) + a(4) × q³ = 18
即 a(4) × ( 1 + q³ ) = 18 ------------------------------ ②
② ÷ ①,得a(4)/a(3) = 1/2,
∴ 公比q = 1/2
把q = 1/2 代入①式得a(3) = 32
则 a(1) = a(3) / q² = 128
把 a(1) = 128、q = 1/2、a(n) = 1/2
代入 a(n) = a(1) × q的(n-1)次方,得：n = 9
解法二：设等比数列的公比为q
则：
a(4) = a(3) × q
a(7) = a(6) × q
∵ a(4) + a(7) = 18
∴ a(3) × q + a(6) × q = 18
即：[ a(3) + a(6) ] × q = 18 ------------------------ ①
而 a(3) + a(6) = 36 ------------------------ ②
① ÷ ② 得：q = 1/2
∵ a(3) = a(1) × q²
a(6) = a(1) × q五次方
∴ a(3) = a(1)/4
a(6) = a(1)/32
而a(3) + a(6) = 36
∴ a(1)/4 + a(1)/32 = 36
解得 a(1) = 128
把 a(1) = 128、q = 1/2、a(n) = 1/2
代入 a(n) = a(1) × q的(n-1)次方,得：n = 9
2、
（1）数列{an}是等差数列.
证法一：
∵ b(n) = 2的a(n)次方
∴ b(n+1) = 2的a(n+1)次方
设等比数列{bn}的公比为q
则：
q = b(n+1) / b(n)
= [ 2的a(n+1)次方] / [ 2的a(n)次方]
= 2的 [a(n+1)次方 - a(n)次方]
∴ a(n+1) - a(n) = log(3)(q) = 定值
∴ 所以{an}是等差数列
证法二：
设等比数列{bn}的公比为q
则：
b(n) = b(1) × q的(n-1)次方
而已知 b(n) = 2的(an)次方
∴b(1) × q的(n-1)次方 = 2的(an)次方
∴ a(n) = log(2) [b(1) × q的(n-1)次方]
∴ a(n) = log(2)(b1) + log(2)[q的(n-1)次方]
∴ a(n) = log(2)(b1) + (n-1)log(2)(q)
∴ 数列{an}是以log2(b1)为首项、以log(2)(q)为公差的等差数列.
（2）
解法一：
∵ {an}是等差数列
∴a(1) + a(2) + a(3) + · · · + a(18) + a(19) + a(20)
= 10 × [ a(8) + a(13) ]
= 10 × (1/2)
= 5
∴b1b2×……×b20
= 2^[ a(1) + a(2) + a(3) + · · · + a(18) + a(19) + a(20) ]
= 2的5次方
= 32
解法二：
∵等差数列{an}中,a(8) + a(13) = 1/2 且 bn=2的an次方
∴ b(8) × b(13)
= [ 2的(a8)次方] × [2的(a13)次方]
= 2^[a(8) + a(13)]
= 2的(1/2)次方
在等比数列{bn}中,
b(1) × b(20) = b(2) × b(19) = b(8) × b(13) = 2的(1/2)次方
∴b1b2×……×b20
= [b(1) × b(20)] × [b(2) × b(19)] × · · · × [b(8) × b(13)]
= 10个[2的(1/2)次方] 的乘积
= 2的[10×(1/2)] 次方
= 2的5次方
= 32