如图所示，宽度为L的粗糙平行金属导轨PQ和P′Q′倾斜放置，顶端QQ′之间连接一个阻值为R的电阻和开关S，底端PP′处与一小段水平轨道用光滑圆弧相连．已知底端PP′离地面的高度为h，倾

Question

如图所示，宽度为L的粗糙平行金属导轨PQ和P′Q′倾斜放置，顶端QQ′之间连接一个阻值为R的电阻和开关S，底端PP′处与一小段水平轨道用光滑圆弧相连．已知底端PP′离地面的高度为h，倾斜导轨处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场（图中未画出）中．若断开开关S，一根质量为m、电阻为r、长也为L的金属棒从AA′处由静止开始滑下，金属棒落地点离PP′的水平距离为x₁；若闭合开关S，该金属棒仍从AA′处由静止开始滑下，则金属棒落地点离PP′的水平距离为x₂．不计导轨电阻，忽略金属棒经过PP′处的机械能损失，已知重力加速度为g，求：

（1）开关断开时，金属棒离开底端PP′的速度大小．
（2）开关闭合时，在下滑过程导体棒上的电流方向与金属棒中产生的焦耳热．
（3）开关S仍闭合，金属棒从比AA′更高处由静止开始滑下，水平射程仍为x₂，请定性说明金属棒在倾斜轨道上运动的规律．

Answer 1

（1）开关断开时，金属棒离开底端PP′的速度大小为v₁，在空中运动的时间为t，则：
在水平方向上：x₁=v₁t
在竖直方向上有：h=(1)/(2)gt²
联立可得：v₁=x₁√((g)/(2h))
（2）开关断开时，在金属棒沿倾斜导轨下滑的过程中，重力做功为W_G，摩擦力做功为W_F．
根据动能定理可得：W_G+W_F=(1)/(2)mv₁²
开关闭合时，金属棒离开底端PP′的速度：v₂=x₂√((g)/(2h))
在金属棒沿倾斜导轨下滑的过程中，重力做功和摩擦力做功与开关断开时相同，安培力做功为W_安，系统产生的焦耳热为Q，
由动能定理可得：W_G+W_F+W_安=(1)/(2)mv₂²
又由功能关系可得：Q=|W_安|
金属棒产生的焦耳热为：Q_r=(r)/(R+r)Q
联立上述方程可得：Q_r=(r)/(R+r)•(mg)/(4h)（x₁²-x₂²）．
（3）据题，开关S仍闭合，金属棒从比AA′更高处静止开始滑下，水平射程仍为x₂，说明金属棒离开PP′时的速度相等，则知金属棒在倾斜导轨上先做加速度减小的加速运动，然后匀速运动．
答：（1）开关断开时，金属棒离开底端PP′的速度大小为x₁√((g)/(2h))；
（2）开关闭合时，金属棒在下滑过程中产生的焦耳热为(r)/(R+r)•(mg)/(4h)（x₁²-x₂²）；
（3）金属棒在倾斜导轨上先做加速度减小的加速运动，然后匀速运动．