（2013•温州一模）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=4x上相异两点，且满足x1+x2=2．（Ⅰ）AB的中垂线经过点P（0，2），求直线A的方程；（Ⅱ）AB的中垂线交x轴于点M，△AMB的面积的最大

Question

（2013•温州一模）已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线y²=4x上相异两点，且满足x₁+x₂=2．
（Ⅰ）AB的中垂线经过点P（0，2），求直线A的方程；
（Ⅱ）AB的中垂线交x轴于点M，△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．

Answer 1

方法一：
（I）当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，
所以设直线AB的方程为y=kx+b，代入方程y²=4x得：k²x²+（2kb-4）x+b²=0
∴x₁+x₂=(4−2kb)/(k2)=2，…（2分）
得：b=(2)/(k)-k，
∴直线AB的方程为y=k（x-1）+(2)/(k)，
∵AB中点的横坐标为1，
∴AB中点的坐标为（1，(2)/(k)）    …（4分）
∴AB的中垂线方程为y=-(1)/(k)（x-1）+(2)/(k)=-(1)/(k)x+(3)/(k)，
∵AB的中垂线经过点P（0，2），故(3)/(k)=2，得k=(3)/(2)      …（6分）
∴直线AB的方程为y=(3)/(2)x-(1)/(6)，…（7分）
（Ⅱ）由（I）可知AB的中垂线方程为y=-(1)/(k)x+(3)/(k)，
∴M点的坐标为（3，0）…（8分）
因为直线AB的方程为k²x-ky+2-k²=0，
∴M到直线AB的距离d=(|3k2+2−k2|)/(√(k4+k2))=(2√(k2+1))/(|k|)      …（10分）
由

作业帮用户 2016-11-18 举报

问题解析

方法一：
（I）设直线AB的方程为y=kx+b，与y²=4x联立，利用韦达定理结合x₁+x₂=2可求得直线AB的方程为y=k（x-1）+(2)/(k)，而AB中点的坐标为（1，(2)/(k)），AB的中垂线经过点P（0，2），可求得AB的斜率，从而可求直线AB的方程；
（Ⅱ）依题意，直线AB的方程为k²x-ky+2-k²=0，利用点到直线间的距离公式可求得点M到直线AB的距离d，联立AB的方程与抛物线方程，结合韦达定理可求得|AB|，于是可得到面积表达式，通过导数法即可求得△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程；
法二：（Ⅰ）设AB的中点为Q（1，t），可求得k_AB=(2)/(t)，由（t-2）•(2)/(t)=-1，可求得t继而可得直线AB的方程为y=(3)/(2)x-(1)/(6)；
（Ⅱ）依题意可得直线AB的方程，继而可求点M到直线AB的距离为d=(t2+4)/(√(t2+4))=√(t2+4)，从而可得面积表达式，利用基本不等式即可求得△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．

名师点评

本题考点：

直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；点到直线的距离公式．

考点点评：

本题考查：直线的一般式方程，考查：直线的一般式方程与直线的垂直关系，突出考查点到直线的距离公式，属于难题．

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