设总体X的样本密度为f(xi，λ)＝λαxα−1e−λxα，x＞00，x≤0，其中λ＞0是未知参数，α＞0是已知常数．试根据来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，求λ的极大似然估计量．

Question

设总体X的样本密度为f(xi，λ)＝

λαxα−1e−λxα，x＞0

0，x≤0

，其中λ＞0是未知参数，α＞0是已知常数．试根据来自总体X的简单随机样本X₁，X₂，…，X_n，求λ的极大似然估计量．

Answer 1

由已知可得，似然函数为：
L（x₁，x₂，…，x_n，θ）=f（X=x₁）f（X=x₂）•…•f（X=x_n）=(λα)ne−λ

n

i＝1

xiα(

n π i＝1 x

α−1 i

)
对似然函数求对数得：
lnL=nln（λα）-λ

n

i＝1

x

α i

+ln(

n

π

i＝1

x

α−1 i

)
求导得：
(dlnL)/(dλ)＝(n)/(λ)−

n

i＝1

x

α i

=0
得最大似然估计为：

∧

λ

=(n)/(ni＝1xαi)