求微分方程y''-2my'+(m^2)y=e^(mx)(m为非零实常数)的通解.求大神指教,要完整过程,小菜鸟感激不尽

Question

求微分方程y''-2my'+(m^2)y=e^(mx)(m为非零实常数)的通解. 求大神指教,要完整过程,小菜鸟感激不尽

Answer 1

∵齐次方程y''-2my'+(m²)y=0的特征方程是r²-2mr+m²=0,则r=m(二重根)
∴此齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^(mx) (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=Ax²e^(mx)
代入原方程化简整理得
2Ae^(mx)=e^(mx)
==>2A=1
==>A=1/2
∴原方程的一个特解是y=(x²/2)e^(mx)
故原方程的通解是y=(C1x+C2)e^(mx)+(x²/2)e^(mx) (C1,C2是积分常数)
即y=(x²/2+C1x+C2)e^(mx) (C1,C2是积分常数).