设集合A=｛x｜x^2+(2a-3)x-3a=0,a∈R｝,集合B=｛x｜x^2+(a-3)x+a^2-3a=0,a∈R｝,若集合A≠B,A∩B≠空集,试用列举法表示A∪B

Question

设集合A=｛x｜x^2+(2a-3)x-3a=0,a∈R｝,集合B=｛x｜x^2+(a-3)x+a^2-3a=0,a∈R｝,若集合A≠B,A∩B≠空集,试用列举法表示A∪B

Answer 1

A∩B≠空集,x^2+(2a-3)x-3a=0和x^2+(a-3)x+a^2-3a=0有相同的根,设这个根为x=c,
c^2+(2a-3)c-3a=0,c^2+(a-3)c+a^2-3a=0,
c^2+(2a-3)c-3a=c^2+(a-3)c+a^2-3a,
ac-a^2=0,
因为a=0时,不满足A≠B,所以a≠0,因此
c=a.
x=a是x^2+(2a-3)x-3a=0的根,a^2+(2a-3)a-3a=0,
3a^2-6a=0,a=2.
A＝{x|x^2+(2a-3)x-3a=0,a∈R}={x|x^2+x-6=0,a∈R}={2,-3},
B={x|x^2+(a-3)x+a^2-3a=0,a∈R}={x|x^2-x-2=0,a∈R}={2,-1}.
A∪B={2,-3,-1}.