在竖直平面内固定一半径为R的金属细圆环，质量为m的金属小球（视为质点）通过长为L的绝缘细线悬挂在圆环的最高点．当圆环、小球都带有相同的电荷量Q（未知）时，发现小球在垂直

Question

在竖直平面内固定一半径为R的金属细圆环，质量为m的金属小球（视为质点）通过长为L的绝缘细线悬挂在圆环的最高点．当圆环、小球都带有相同的电荷量Q（未知）时，发现小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，如图所示．已知静电力常量为k．则下列说法中正确的是（　　）

A．电荷量 Q=

(mgL3)/(kR)

B．电荷量 Q=

(mg(L2 -R2 )(3)/(2))/(kR)

C．绳对小球的拉力 F=(mgR)/(L)

D．绳对小球的拉力 F=(mgL)/(L2 -R2)

Answer 1

由于圆环不能看作点电荷，我们取圆环上一部分△x，设总电量为Q，则该部分电量为 (△x)/(2πR) Q；
由库仑定律可得，该部分对小球的库仑力F ₁ = (KQ△XQ)/(2π L2 R) ，方向沿该点与小球的连线指向小球；
同理取以圆心对称的相同的一段，其库仑力与F ₁ 相同；如图所示，


两力的合力应沿圆心与小球的连线向外，大小为2 (KQ△XQ)/(2π L2 R) × (L2 - R2)/(L) = (K Q2 △ XL2 - R2)/(π L3 R) ；
因圆环上各点对小球均有库仑力，故所有部分库仑力的合力F _库 = (K Q2L2 - R2)/(π L3 R) ×πR= (K Q2L2 - R2)/(L3) ，方向水平向右；
小球受力分析如图所示，小球受重力、拉力及库仑力而处于平衡，故T与F的合力应与重力大小相等，方向相反；
由几何关系可得： (T)/(L) = (mg)/(R) ；
则小球对绳子的拉力T= (mgL)/(R) ，故C、D错误；
(F)/(L2 - R2) = (mg)/(R) ；
则F= (mgL2 - R2)/(R) = (K Q2L2 - R2)/(L3) ；
解得Q=

(mg L3)/(kR)

；
故A正确，B错误；
故选A．