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在竖直平面内固定一半径为R的金属细圆环,质量为m的金属小球(视为质点)通过长为L的绝缘细线悬挂在圆环的最高点.当圆环、小球都带有相同的电荷量Q(未知)时,发现小球在垂直

题目详情
在竖直平面内固定一半径为R的金属细圆环,质量为m的金属小球(视为质点)通过长为L的绝缘细线悬挂在圆环的最高点.当圆环、小球都带有相同的电荷量Q(未知)时,发现小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态,如图所示.已知静电力常量为k.则下列说法中正确的是(  )
A.电荷量 Q=
mg L 3
kR
B.电荷量 Q=
mg ( L 2 - R 2 )
3
2
kR
C.绳对小球的拉力 F=
mgR
L
D.绳对小球的拉力 F=
mgL
L 2 - R 2
▼优质解答
答案和解析
由于圆环不能看作点电荷,我们取圆环上一部分△x,设总电量为Q,则该部分电量为
△x
2πR
Q;
由库仑定律可得,该部分对小球的库仑力F 1 =
KQ△XQ
2π L 2 R
,方向沿该点与小球的连线指向小球;
同理取以圆心对称的相同的一段,其库仑力与F 1 相同;如图所示,


两力的合力应沿圆心与小球的连线向外,大小为2
KQ△XQ
2π L 2 R
×
L 2 - R 2
L
=
K Q 2 △ X
L 2 - R 2
π L 3 R

因圆环上各点对小球均有库仑力,故所有部分库仑力的合力F =
K Q 2
L 2 - R 2
π L 3 R
×πR=
K Q 2
L 2 - R 2
L 3
,方向水平向右;
小球受力分析如图所示,小球受重力、拉力及库仑力而处于平衡,故T与F的合力应与重力大小相等,方向相反;
由几何关系可得:
T
L
=
mg
R

则小球对绳子的拉力T=
mgL
R
,故C、D错误;
F
L 2 - R 2
=
mg
R

则F=
mg
L 2 - R 2
R
=
K Q 2
L 2 - R 2
L 3

解得Q=
mg L 3
kR

故A正确,B错误;
故选A.


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