求证函数f(x,y)=xy2/(x2+y4)当(x,y)→(0,0)时极限不存在沿y=x,y=-x两条路径证明,

Question

求证 函数f(x,y)=xy2/(x2+y4)当(x,y)→ (0,0)时极限不存在
沿y=x,y=-x两条路径证明,

Answer 1

二元函数的极限存在是指按x,y变化的任意路径都是趋于同一极限值.
所以为了说明极限不存在只要找两个路径,极限值不同即可.
正确的一个做法：当x=y^2时,通过计算f(x,y)=1/2,即此时(x,y)→ (0,0),极限时1/2
当x=y时,通过计算f(x,y)=x/(1+x^2),显然此时(x,y)→ (0,0),即x→0,f(x,y)→0
于是证完.