解决路线最短问题的依据是?

Question

解决路线最短问题的依据是?

Answer 1

最短路径的数学问题.这类问题的解答依据是“两点之间,线段最短”或“垂线段最短”,由于所给的条件的不同,解决方法和策略上又有所差别,现举例说明：
一、利用对称的性质,通过等线段代换,将所求路线长转化为两定点之间的距离.
例：如图



张庄A、李庄B位于河沿的同侧,现在河沿L上修一提灌站C向张庄A、李庄B提水,问提灌站修在河沿L的什么地方,所用水管最少?
分析：要使水管最少（即最短）除非AC、BC的和为两定点之间的距离,也即是C在两定点的连线上,于是利用轴对称的性质,可用如下方法解答.
1、找出A关于L的对称点A'；2、连结A'与L相交,交点即提灌站应建的位置C.
变式：当提灌站修在C处时,向张庄A、李庄B供水,所用水管最短,为3千米.已知BC的长为1.2千米,你能在下图中找出张庄A的位置吗?


二、通过展开立体图形的表面或侧面,化立体为平面,化曲线或折线为直线,利用两点之间线段最短解决问题.
例：如图,已知一长方体长2米,
　　宽1米,高3米,一蚂蚁要
　　从顶点C'爬行到顶点Ａ处,
　　求所经过的最短路程为多少米?
分析：将该长方体表面如图展开,
连结ＡＣ',蚂蚁沿线段ＡC'
爬行时所经过的路程就最近.




解析：由勾股定理可得蚂蚁经过的最短路程为 2 米(说明：ＡＣ'的连线必须在长方体的表面上）.
思考题：１、本题随着表面展开的方式不同,有多条路径,但最短时的路径的长度却不会随之变化,你不妨动手操作验证一下我的说法.
２、正视图为边长是６米的正三角形的圆锥
粮堆中,在过轴切面的两条母线上,Ｂ为
ＳＣ的中点,Ｂ处有一老鼠,Ａ处有一猫,
求猫沿粮堆侧面去逮老鼠所经过的最短路程.
三、通过平移,除去固定部分的长,使其余几段的和正好为两定点之间的距离.
例：如图,张庄Ａ、李庄Ｂ位河的两侧,河宽５０米,现要在河上架一座与河岸垂直的桥,桥架在什么位置,从张庄过桥到李庄所经过的路线最近.





解析：将张庄Ａ沿与河岸垂直的方向下移５０米到Ａ',连结A'B交对岸于点Ｃ,过Ｃ作Ｌ的垂线交Ｌ'于点D,则桥应架在线段ＣＤ的位置上,就使从张庄Ａ经过桥到李庄Ｂ所经过的路线最近.