如图所示，在光滑水平面上有一质量为M的长木板，长木板上有一质量为m的小物块，它与长木板间的动摩擦因数为μ。开始时，长木板与小物块均靠在与水平面垂直的固定挡板处，某时刻

Question

如图所示，在光滑水平面上有一质量为M的长木板，长木板上有一质量为m的小物块，它与长木板间的动摩擦因数为μ。开始时，长木板与小物块均靠在与水平面垂直的固定挡板处，某时刻它们以共同的速度v ₀ 向右运动，当长木板与右边的固定竖直挡板碰撞后，其速度的大小不变、方向相反，以后每次的碰撞均如此。设左右挡板之间的距离足够长，且M＞m。
（1）要想物块不从长木板上落下，则长木板的长度L应满足什么条件？
（2）若上述条件满足，且M＝2 kg，m＝1 kg，v ₀ ＝10 m/s，求整个系统在第5次碰撞前损失的所有机械能。

Answer 1

（1）设第1次碰撞后小物块与长木板共同运动的速度为v ₁ ，第n次碰撞后小物块与长木板共同运动的速度为v _n 。每次碰撞后，由于两挡板的距离足够长，物块与长木板都能达到相对静止，第1次若不能掉下，往后每次相对滑动的距离会越来越小，更不可能掉下。由动量守恒定律和能量守恒定律有：
(M－m)v ₀ ＝(M＋m)v ₁
μmgs＝ (m＋M)v ₀ ² － (M＋m)v ₁ ²
解得：s＝
故L应满足的条件是：L≥s＝
（2）第2次碰撞前有：(M－m)v ₀ ＝(M＋m)v ₁
第3次碰撞前有：(M－m)v ₁ ＝(M＋m)v ₂
第n次碰撞前有：(M－m)v _n－2 ＝(M＋m)v _n－1
所以v _n－1 ＝( ) ^n－1 v ₀
故第5次碰撞前有：v ₄ ＝( ) ⁴ v ₀
故第5次碰撞前损失的总机械能为：ΔE＝ (M＋m)v ₀ ² － (M＋m)v ₄ ²
代入数据解得：ΔE＝149.98 J