宽为a的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为8a的细杆能水平地通过拐角，则另一走廊的宽度至少是多少？

Question

宽为a的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为8a的细杆能水平地通过拐角，则另一走廊的宽度至少是多少？

Answer 1

如图，设细杆与另一走廊一边的夹角为θ(0＜θ＜(π)/(2))，
设另一走廊的宽为y，∵AB＝(a)/(cosθ)，BC＝8a−(a)/(cosθ)，∴y(θ)＝BCsinθ＝8asinθ−(asinθ)/(cosθ)(0＜θ＜(π)/(2))
依题意必存在一个适当的0值使y最小．
由y′(θ)＝8acosθ−(asin2θ+acos2θ)/(cos2θ)＝8acosθ−(a)/(cos2θ)
令y'=0得cos3θ＝(1)/(8)，得csoθ＝(1)/(2)，θ＝(π)/(3)，
当cosθ＜(1)/(2)时，y'＜0，当cosθ＞(1)/(2)时，y'＞0，
∴当cosθ＝(1)/(2)，即θ＝(π)/(3)时，ymin3√(3)a，即另一走廊的宽度至少是3√(3)a