如图所示，表面粗糙的足够长的浅色传送带以速度v0=8m/s顺时针匀速转动，传送带的右端有一固定的斜面，斜面底端B与传送带经一长度可忽略的光滑圆弧连接，现将一质量m=1kg的黑色小滑块从

Question

如图所示，表面粗糙的足够长的浅色传送带以速度v₀=8m/s顺时针匀速转动，传送带的右端有一固定的斜面，斜面底端B与传送带经一长度可忽略的光滑圆弧连接，现将一质量m=1kg的黑色小滑块从距离B点x₀=10m的A处轻轻无初速度放上传送带，已知小滑块与传送带间的动摩擦因数为μ₁=0.4，斜面倾角θ=37°，斜面足够长，小滑块与斜面的动摩擦因数为μ₂=0.45，重力加速度g=10m/s²，sin37°0.6，cos37°=0.8，求：

（1）小滑块滑上斜面之前在传送带上留下的划痕长度L₁；
（2）小滑块第一次滑上斜面后能够到达的最高点P距B点的距离L₂；
（3）小滑块从斜面上第三次返回斜面底端时的速度大小．

Answer 1

（1）小滑块在传送带上先加速运动，设加速度为a₁，则：μ₁mg=ma₁
加速至v₀=8m/s，发生的位移x1=(v20)/(2a1)=8m
此时传送带发生的位移：x₂=2x₁=16m
故划痕的长度：L₁=x₂-x₁=8m
（2）由于小滑块滑上斜面时做减速运动，设加速度大小为a₂，由牛顿运动定律可得：mgsinθ+μ₂mgcosθ=ma₂
-2a2L2=-

v

2 0

联立解得：L2=(10)/(3)m=3.3m
（3）由于tanθ=0.75>μ₂=0.45，所以滑块到达最高点后会向下加速运动，返回斜面底端，滑块第一次滑上斜面时的最大位移为L₂，第一次返回斜面底端时的速度为v₁，由运动学公式可得：

v

2 0

=2a2L2
下滑过程根据牛顿第二定律有：mgsinθ-μ₂mgcosθ=ma₃
由运动学公式可得：

v

2 1

=2a3L2
两式联立可得：v1=(1)/(2)v0=4m/s
滑块返回斜面底端后，在传送带上做类竖直上抛运动，返回斜面底端时速度仍然为v₁，
第二次上滑过程，

v

2 1

=2a2L3
第二次下滑过程：

v

2 2

=2a3L3
第三次上滑过程，

v

2 2

=2a2L4
第三次下滑过程：

v

2 3

=2a3L4
联立解得第三次返回斜面底端时的速度大小；v₃=1m/s
答：（1）小滑块在传送带上留下的划痕长度L₁为8m；
（2）小滑块第一次滑上斜面后能够到达的最高点P距B点的距离L₂为3.3m；
（3）小滑块从斜面上第三次返回斜面底端时的速度大小为1m/s．