面积一定的图形中,哪种图形的边长最小?面积相等的情况下,哪样的形状周长最小?

Question

面积一定的图形中,哪种图形的边长最小?
面积相等的情况下,哪样的形状周长最小?

Answer 1

假设圆的半径是R,面积就是πR².
如果矩形的长是a,宽是b,面积就是ab.
如果ab=πR2,不难得出R=根号的ab/π.圆的周长=2π*根号的ab/π=2根号的abπ.
比较两个的周长,就是2（a+b）和2根号的abπ.
两边的2去掉,就是比较a+b和根号的abπ.
而我们又知道,（a+b）²=a²+b²+2ab.所以我们把两边平方一下,两边根号去掉,就变成了比较a²+b²+2ab和abπ.
另外,我们知道一条公式：（a-b）²＞0,打开平方,移项,得到a²+b²＞2ab.
到这里,我们假设矩形的周长公式变形a²+b²+2ab大于圆形的周长公式变形abπ.
移项得到,a²+b²＞（π-2）ab.
而由上面我们得知,a²+b²＞2ab,又显然,2ab＞（π-2）ab
所以：a²+b²＞2ab＞（π-2）ab
因为π=3.141592654.
所以假设成立
所以矩形的周长比圆的周长长.
所以圆形的周长最小.
以上公式可以推导至多边形.