一个多元函数微分学的证明题第二的画线处的式子为什么等于0,这个我不太懂我自己在下面,完全凭感觉乱写了几步,然后代进去,能够得到 “等于0” 这个结论,不过我不肯定我这推倒方法是得

Question

一个多元函数微分学的证明题

第二的画线处的式子为什么等于0,这个我不太懂


我自己在下面,完全凭感觉乱写了几步,然后代进去,能够得到 “等于0” 这个结论,不过我不肯定我这推倒方法是得的,难道真的能把 t 像那样,从偏微分符号中提出来么?真的能在偏微分符号中,利用题中给的等式做函数代换么?


如果我那样推不对的话,麻烦教我一个正确的推倒方法,得出 第二个红线处=0的结论


我还有个问题,题中愈证结论,还有一个f(x,y)为n次齐次函数,这句话在该题中起到一个什么作用?似乎没用上

Answer 1

你问题比较多我一一回答：
第一个问题：从你画第一个红线开始是后边推前边的证明这个你知道的吧?其实那里令t=1这个没什么用,不管它,而后面那个式子是对任意的x,y都恒成立的.于是用tx代替x,ty代替y也是成立的
或者这么说吧,设H(x,y)=xf'x(x,y)+yf'y(x,y)-nf(x,y) ,则对任意x,y都有H(x,y)=0
所以有H(tx,ty)=0 ,你第二个划线的括号里面正是H(tx,ty)
第二个问题：可以提出来的,为什么呢?因为d(tx)/dx =t 所以d（tx）=tdx
(如果不清楚,你设g(x)=tx,把t看成固定的数,那么d(g(x))/dx=(tx)'=t)
但是你用df(tx,ty)去比上d(tx),这个意义不大,再好好研究一下复合函数求导.
第三个问题：要证的不就是齐次函数么,怎么用不上……用不上你怎么搞,你写的式子第二个等号用的不也是其次性么