在数列{an}中当n≥2时,A(n-1)-An=n*AnA(n-1)恒成立,a1=1(An不等于0),求数列{An}的前项和Sn

Question

在数列{an}中当n≥2时,A(n-1)-An=n*AnA(n-1)恒成立,a1=1(An不等于0),求数列{An}的前项和Sn

Answer 1

因为An不等于0.所以等式两边同时除以（An*A（n-1））可得：
1/An-1/A(n-1)=n
之后采用累加法,1/A2-1/A1=2,1/A3-1/A2=3.1/An-1/A(n-1)=n.
全部相加以后会发现很多都约去了,剩下：1/An-1/A1=2+3+4+5+...+n
整理（右边用等差数列求n项和的方法）后,可得：An=2/[n*(n+1)]
这样求Sn就要用经典的裂项法了,也就是1/[n*(n+1)]=1/n-1/(n+1)
再次累加,A1+A2+A3+...+An=2*[1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4.+1/n-1/(n+1)]=2*[1-1/(n+1)]=2n/(n+1)