已知关于x的方程x^2-2(m+1)x+m^2-2m-3=0的两个不相等的实数根中有一根为0,是否存在非正整数k,使得关于x的方程kx^2-(2k-m)x+k-m^2+5m-10=0有整数根?若存在,求k的值,若不存在,请说明理由

Question

已知关于x的方程x^2-2(m+1)x+m^2-2m-3=0的两个不相等的实数根中有一根为0,是否存在非正整数k,使得关于x的方程kx^2-(2k-m)x+k-m^2+5m-10=0有整数根?若存在,求k的值,若不存在,请说明理由

Answer 1

已知关于x的方程x^2-2(m+1)x+m^2-2m-3=0的两个不相等的实数根中有一根为0,是否存在非正整数k,使得关于x的方程kx^2-(2k-m)x+k-m^2+5m-10=0有整数根?若存在,求k的值,若不存在,请说明理由
关于X的方程x^2-2(m+1)x+m^2-2m-3=0的两个不相等实数根中,有一个根为0.
∴把x=0代入方程解得:m1=-1,m2=3.
∴另一方程可能为：x^2-(k+1)x-k-8=0或x^2-(k-3)x-k+4=0,
设存在实数k,使关于x的方程x^2-(k-m)x-k-m^2+5m-2=0的两个实数根之差的绝对值为1,两根分别为x1,x2.
由韦达定理得：x1+x2=k+1或x1+x2=k-3;x1x2=-(k+8)或x1x2=-(k-4)
∴|x1-x2|=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=(k+1)^2+4(k+8)]=1解得方程无实数根．
|x1-x2|=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=∴|x1-x2|=√[[(k-3)^2+4(k-4)]=1,
解得：k1=4,k2=-2,
经检验：k2=-2不符合题意,k=4符合题意．
∴存在实数k=4使关于x的方程x^2-(k-3)x+4=0的两个实数根之差的绝对值为1．