一道数学题:在A,B,C三个村庄中建一个水库,应建在哪里使三个村庄到水库的距离和最短?要写清楚解题步骤

Question

一道数学题:在A,B,C三个村庄中建一个水库,应建在哪里使三个村庄到水库的距离和最短?
要写清楚解题步骤

Answer 1

楼上的都乱讲,二楼外心是到三个点距离相等,根本不是距离和最短!
这个点应该是费马点.
费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点.(1).三内角皆小於120°的三角形ABC的费马点,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此角的顶点就是所求.
在这里证明一下,不知道为什么,我做的图怎么也上传不了,所以没有图对照了.
画一个三角形均小于120度的任意三角形ABC.分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点..如果P点即是费马点,则PA+PB+PC会小于三角形内任一点到三定点的距离总和.
１、分别过A、B、C点作 PA + PB + PC 之垂直线,相交於D、E、F,则△DEF
为正△
２、∵∠PAE＝∠PBE＝90 度,又∠AEB＝60.∴∠APB＝120.同理可得∠APC
＝120.；∠BPC＝120.
３、由「薇薇安尼定理」可得PA + PB + PC ＝△EDF 的高(定值)
４、设△ABC中有任一点异于P 点的P'
５、作P'Q ⊥ EF ,P'R ⊥ ED ,P'S ⊥ DF,再连P'A,P'B,P'C
６、由「三角形不等式」可得P'A > P'Q ,P'B > P'R ,P'C > P'S (P'Q + P'R + P'S
＝PA + PB + PC)
7、∴P'A + P'B + P'C > PA + PB + PC
8、∴唯有 PA + PB + PC 为到△ABC 之三顶点的最小距离之和