鄂西北某湿地公园里，A，B两地相距2km，现在准备在湿地公园里围成一片以AB为一条对角线的平行四边形区域，建立生态观光园．按照规划，围墙总长度为8km．求：（1）平行四边形另两个顶

Question

鄂西北某湿地公园里，A，B两地相距2km，现在准备在湿地公园里围成一片以AB为一条对角线的平行四边形区域，建立生态观光园．按照规划，围墙总长度为8km．求：
（1）平行四边形另两个顶点C，D所在的轨迹方程；
（2）观光园的最大面积能达到多少？
（3）该湿地公园里有一条直线型步行小径刚好过点A，且与AB成45°角，现要对步行小径进行整修改造，但考虑到今后湿地公园里的步行小径要重新设计改造，因此该步行小径可能被观光园围住的部分暂不整修，那么暂不整修的部分有多长？

Answer 1

（1）以AB为x轴，以AB的中垂线直角坐标系，如右图：
设四边形的顶点C的坐标是（x，y），则D（-x，-y）且A（-1，0），B（1，0），
由题意得，|CA|+|CB|=4>|AB|=2，
所以点C轨迹为椭圆，且a=2，c=1，b=√(3)，
四边形另两个顶点的轨迹方程是(x2)/(4)+(y2)/(3)=1；
（2）由图得，观光园的最大面积S=2S_△ABC=2×(1)/(2)|AB||y_C|=2|y_C|，
因为|y_C|≤√(3)，则2|y_C|≤2√(3)，
所以农艺园的最大面积能达到2√(3)km²；
（3）因为直线型步行小径刚好通过点A，且l与AB成45°角，所以直线l的方程为：y=x+1，
设直线l与椭圆(x2)/(4)+(y2)/(3)=1相交于点P、Q两点，则步行小径可能被观光园围住的部分为PQ，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由直线与椭圆联立得，7x²+8x-8=0，
所以x₁+x₂=-(8)/(7)，x₁x₂=-(8)/(7)，
则|PQ|=√(2)•√((64)/(49)-4×(-(8)/(7)))=(24)/(7)（km），
所以暂不整修的部分为(24)/(7)km．