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鄂西北某湿地公园里,A,B两地相距2km,现在准备在湿地公园里围成一片以AB为一条对角线的平行四边形区域,建立生态观光园.按照规划,围墙总长度为8km.求:(1)平行四边形另两个顶

题目详情
鄂西北某湿地公园里,A,B两地相距2km,现在准备在湿地公园里围成一片以AB为一条对角线的平行四边形区域,建立生态观光园.按照规划,围墙总长度为8km.求:
(1)平行四边形另两个顶点C,D所在的轨迹方程;
(2)观光园的最大面积能达到多少?
(3)该湿地公园里有一条直线型步行小径刚好过点A,且与AB成45°角,现要对步行小径进行整修改造,但考虑到今后湿地公园里的步行小径要重新设计改造,因此该步行小径可能被观光园围住的部分暂不整修,那么暂不整修的部分有多长?
▼优质解答
答案和解析
(1)以AB为x轴,以AB的中垂线直角坐标系,作业帮如右图:
设四边形的顶点C的坐标是(x,y),则D(-x,-y)且A(-1,0),B(1,0),
由题意得,|CA|+|CB|=4>|AB|=2,
所以点C轨迹为椭圆,且a=2,c=1,b=
3

四边形另两个顶点的轨迹方程是
x2
4
+
y2
3
=1;
(2)由图得,观光园的最大面积S=2S△ABC=2×
1
2
|AB||yC|=2|yC|,
因为|yC|≤
3
,则2|yC|≤2
3

所以农艺园的最大面积能达到2
3
km2
(3)因为直线型步行小径刚好通过点A,且l与AB成45°角,所以直线l的方程为:y=x+1,
设直线l与椭圆
x2
4
+
y2
3
=1相交于点P、Q两点,则步行小径可能被观光园围住的部分为PQ,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由直线与椭圆联立得,7x2+8x-8=0,
所以x1+x2=-
8
7
,x1x2=-
8
7

则|PQ|=
2
64
49
-4×(-
8
7
)
=
24
7
(km),
所以暂不整修的部分为
24
7
km.
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