关于平面镶嵌,我们常常见到的地板是用正方形,等边三角形的材料铺成的,请问:为什么用这样形状的材料能铺成平整,无空隙的地板?

Question

关于平面镶嵌,
我们常常见到的地板是用正方形,等边三角形的材料铺成的,请问:为什么用这样形状的材料能铺成平整,无空隙的地板?

Answer 1

如果在平面上铺纸,在纸上将一根碳棒的一端固定,绕端点旋转一周,纸上就被抹出一个黑圆.旋转不到360▫,则留有空白；超过360▫,则超过部分被重复抹黑.
由此可知,要使几个角拼成一个平面,一是必须围绕一个顶点,二是这几个角加起来必须恰好组成一个周角.所以,多边形铺满地面的条件是：围绕一个顶点拼在一起的几个多边形的内角加起来恰好组成一个周角.
满足条件的只有正三角形、正方形和正六边形.
正三角形的每个内角为60▫,六个正三角形围绕一个顶点拼在一起恰好360▫,所以全用正三角形可以铺满地面.
正方形的每个内角为90▫,四个正六边形围绕一个顶点拼在一起恰好360▫,所以全用正方形可以铺满地面.
正六边形的每个内角为120▫,三个正六边形围绕一个顶点拼在一起恰好360▫,所以全用正六边形可以铺满地面.
由于正五边形的每个内角为108▫,用三个108▫为324▫,不够360▫,留有空隙.用四个108▫为432▫,超过360▫,造成重叠.所以全用正五边形不能铺满平面.全用正八边形也不能铺满平面.
除此之外,如果用几种正多边形组合铺满地面,就必须满足两个条件：○1围绕一点拼在一起的各内角加起来恰好组成一个周角；○2这几种正多边形的边长都相等.