“自发电”地板是利用游人走过此处，踩踏地板发电．地板下有一发电装置，如图1所示，装置的主要结构是一个截面半径为r、匝数为n的线圈，无摩擦地套在磁场方向呈辐射状的永久磁铁槽

Question

“自发电”地板是利用游人走过此处，踩踏地板发电．地板下有一发电装置，如图1所示，装置的主要结构是一个截面半径为r、匝数为n的线圈，无摩擦地套在磁场方向呈辐射状的永久磁铁槽中．磁场的磁感线沿半径方向均匀对称分布，图2为横截面俯视图．轻质地板四角各连接有一个劲度系数为k的复位弹簧（图中只画出其中的两个），轻质硬杆P将地板与线圈连接，从而带动线圈上下往返运动（线圈不发生形变）便能发电．若线圈所在位置磁感应强度大小为B，线圈的总电阻为R₀，现用它向一个电阻为R的小灯泡供电．为便于研究，将某人走过时对板的压力使线圈发生的位移x随时间t变化的规律简化为图3所示．（弹簧始终处在弹性限度内，取线圈初始位置x=0，竖直向下为位移的正方向．线圈运动的过程中，线圈所在处的磁场始终不变）

（1）请在图4所示坐标系中画出线圈中感应电流i随时间t变化的图象，取图2中逆时针电流方向为正方向，要求写出相关的计算和判定的过程．
（2）t=(t0)/(2)时地板受到的压力．
（3）求人一次踩踏地板所做的功．

Answer 1

解
（1）0～t₀时间内电流方向为正方向，t₀到2t₀时间内电流方向为负方向；
0～t₀、t₀～2t₀时间内线圈向下、向上运动的速率均为v=(x0)/(t0)
全程产生的感应电动势大小均为E=nB2πr•v
又I=(E)/(R+R0)
联立以上方程得I=(2πnBrx0)/((R+R0)t0)
线圈中感应电流i随时间t变化的图象如图所示．
（2）0～t₀时间内安培力方向向上，且F安=nBI•2πr=((2πBnr)2x0)/((R+R0)t0)
(t0)/(2)时刻地板受到的压力FN=4k(x0)/(2)+F安
得FN=2kx•0+((2πnBr)2x0)/((R+R0)t0)
（3）全过程中弹力做功为零，则由功能关系可得W=E电=I2(R+R0)•2t0
W=(8π2n2B2r2x20)/((R+R0)t0)
答：（1）在图4所示坐标系中画出线圈中感应电流i随时间t变化的图象如图．
（2）t=(t0)/(2)时地板受到的压力是2kx•0+((2πnBr)2x0)/((R+R0)t0)．
（3）人一次踩踏地板所做的功是(8π2n2B2r2x20)/((R+R0)t0)．