(12分)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南)方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域
( 12分)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于
城市O(如图)的东偏南)方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北
方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的
侵袭?
解法一:如图建立坐标系以O为原点,正东方向为x轴正向.
在时刻t:台风中心P()的坐标为
……………………4分
此时台风侵袭的区域是……………………6分
其中
……………………8分
若在t时刻城市O受到台风的侵袭,则有
即
……………………11分
答:12小时后该城市开始受到台风的侵袭. …………………… 12分
解法二:设在时刻t(h)台风中心为Q,
此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) ……2分
若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则
OQ≤10t+60 ………4分
由余弦定理知
OQ2=PQ2+PO2-2·PQ·POcos∠OPQ
由于PO=300,PQ=20t,
cos∠OPQ=cos(θ-45°)=cosθcos45°+sinθsin45°
= ……………………6分
故OQ2=(20t)2+3002-2×20t×300×=202t2-9600t+3002
因此202t2-9600t+3002≤(10t+60)2, ……………………8分
即t2-36t+288≤0,
解得12≤t≤24 ……………………11分
答:12小时后该城市开始受到台风的侵袭. …………………… 12分