（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域

Question

 （ 12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于

城市O（如图）的东偏南）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的

侵袭？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

 解法一：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.

在时刻t：台风中心P（）的坐标为

                  ……………………4分

    此时台风侵袭的区域是……………………6分

    其中                         ……………………8分

若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有

    即

    ……………………11分

    答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. ……………………  12分

 

解法二：设在时刻t(h)台风中心为Q，

此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) ……2分

　　　　若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则                 

　　　　OQ≤10t+60                        ………4分

　　　　由余弦定理知

　　　　OQ²=PQ²+PO²-2·PQ·POcos∠OPQ

　　　　由于PO=300，PQ=20t，

　　　　cos∠OPQ=cos(θ-45°)=cosθcos45°+sinθsin45°

　　　　=                 ……………………6分    

　　故OQ²=(20t)²+300²-2×20t×300×=20²t²-9600t+300²

　　　　因此20²t²-9600t+300²≤(10t+60)²，　 　……………………8分

　　即t²-36t+288≤0，                                                 

　　　　解得12≤t≤24                               ……………………11分

    答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. ……………………  12分