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(12分)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南)方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域

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 ( 12分)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于

城市O(如图)的东偏南)方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的

侵袭?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

▼优质解答
答案和解析

 解法一:如图建立坐标系以O为原点,正东方向为x轴正向.

在时刻t:台风中心P()的坐标为

                  ……………………4分

    此时台风侵袭的区域是……………………6分

    其中                         ……………………8分

若在t时刻城市O受到台风的侵袭,则有

   

    ……………………11分

    答:12小时后该城市开始受到台风的侵袭. ……………………  12分

 

解法二:设在时刻t(h)台风中心为Q,

此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) ……2分

    若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则                 

    OQ≤10t+60                        ………4分

    由余弦定理知

    OQ2=PQ2+PO2-2·PQ·POcos∠OPQ

    由于PO=300,PQ=20t,

    cos∠OPQ=cos(θ-45°)=cosθcos45°+sinθsin45°

    =                 ……………………6分    

  故OQ2=(20t)2+3002-2×20t×300×=202t2-9600t+3002

    因此202t2-9600t+3002≤(10t+60)2,   ……………………8分

  即t2-36t+288≤0,                                                 

    解得12≤t≤24                               ……………………11分

    答:12小时后该城市开始受到台风的侵袭. ……………………  12分

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