如果一个正整数可以表示成n个正整数的和.且这n个正整数的倒数和为1.那么我们称这个自然数为好数.1.求证：若m为好数.则2m+8和2m+9都是好数.2.试确定在正整数集中好数的个

Question

如果一个正整数可以表示成n个正整数的和.且这n个正整数的倒数和为1.那么我们称这个自然数为【好数】.
1.求证：若m为【好数】.则2m+8和2m+9都是【好数】.
2.试确定在正整数集中 【好数】的个数是有限个还是无限个.并说明理由.

Answer 1

证明：
1.
设m=a1+a2+a3+……+an
可以满足1/a1+1/a2+……+1/an=1
那么把2m+8拆成：
2a1+2a2+……+2an+4+4
∴1/2a1+1/2a2+……+1/2an+1/4+1/4
=(1/2)(1/a1+1/a2+……+1/an)+1/2
=1/2+1/2
=1
∴2m+8是好数
2m+9拆成：
2a1+2a2+……+2an+3+6
∴1/2a1+1/2a2+……+1/2an+1/3+1/6
=(1/2)(1/a1+1/a2+……+1/an)+1/2
=1/2+1/2
=1
∴2m+9也是好数
2.
根据第1问结论,
2m+8,2m+9都是好数
可无限迭代下去
∴好数无限多