怎样证明不存在二位回归数?英国大数学家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)曾经发现过一种有趣的现象:153=13+53+33153是三位数且等于各位数字的三次幂之和,这种巧合不能不令人感到惊讶.更为称奇的是,一

Question

怎样证明不存在二位回归数?
英国大数学家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)曾经发现过一种有趣的现象:
153=13+53+33
153是三位数且等于各位数字的三次幂之和,这种巧合不能不令人感到惊讶.更为称奇的是,一位读者看过哈代的有趣发现后,竟然构造出其值等于各位数字四(五、六)次幂之和的四(五、六)位数：
1634=14+64+34+44
54748=55+45+75+45+85
548834=56+46+86+86+36+46
3位3次幂回归数又称位“水仙花数”.
像这种其值等于各位数字的 n 次幂之和的 n 位数,称为 n 位 n 次幂回归数.本文只讨论这种回归数,故简称为回归数,人们自然要问:对于什么样的自然数 n 有回归数?这样的 n 是有限个还是无穷多个?对于已经给定的n ,如果有回归数,那么有多少个回归数?1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那(Anthony Diluna)巧妙地证明了使 n位数成为回归数的n只有有限个.
二位回归数不存在,那怎么证明呢?

Answer 1

假设x,y是自然数且x不等于0,且都小于10,则两位回归数应该满足,
10x+y-x^2-y^2=0,求出y=(1+(1+40x-4x^2)^0.5)/2,若是要满足y是自然数,开平方的结果应该是个奇数,即1+40x-4x^2应该是个奇数平方数,
有二次函数的知识可知1+40x-4x^2的最大值是101,当令其分别等于1,3,5,7,9的平方时,发现无自然数解.证毕!
本方法确实很笨,因为需要试求5个一元二次方程.