一个高数问题为什么调和级数1+1/2+1/3+……+1/n+……是发散的?

Question

一个高数问题
为什么调和级数1+1/2+1/3+……+1/n+……是发散的?

Answer 1

用反证法：
设S（n）=1+1/2+1/3+……+1/n
假设级数 1+1/2+1/3+……+1/n+……是收敛的,那么lim n→∞ S（n）存在,将其记做S.
再设S（2n）=1+1/2+1/3+……+1/n+……+1/2n,于是也有lim n→∞ S（2n）=S
那么S（2n）-S（n）= S-S = 0
但是实际上：S（2n）-S（n）= 1/（n+1) + 1/(n+2) + …… + 1/(2n)
>1/(2n) + 1/(2n) + …… + 1/(2n)
=1/2
于是推出矛盾,所以调和级数发散.
《高等数学》下册写的很清楚.