［50分］级数求和收敛问题一则已知：limSn(n无穷大)=e,即Sn=无限项求和1/k!（根据taylor公式）,问：级数e-Sn的无限项求和是否收敛?

Question

［50分］级数求和收敛问题一则
已知：lim Sn (n 无穷大) = e,即Sn=无限项求和1/k!（根据taylor公式）,问：
级数e-Sn的无限项求和是否收敛?

Answer 1

题中S(n)=Σ(k=1;n)1/k!,是这样吧?而不仅仅是S(n)->e. 这样的话Σ(e-Sn)是收敛的.
由带Lagrange余项的Taylor公式,e^x=Σ(k=1;n)[(x^k)/k!]+(x^(n+1))*e^y/(n+1)!, 其中y介于0, x之间.
令x=1, 可得S(n)熟知Σe/(n+1)!收敛,由比较判别法可知Σ(e-Sn)收敛.
P.S. 这至少是我第三次回答LZ的级数题了,看来LZ对级数很有爱嘛:-)