已知非零数a、b、c满足a+b+c=0,求证[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b]*[c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9

Question

已知非零数a、b、c满足a+b+c=0,求证[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b]*[
c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9

Answer 1

因为a+b+c=0,所以c=-a-b,所以(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b=(a-b)/(-a-b)+(b+a+b)/a+(-a-b-a)/b=(b-a)/(b+a)+2b/a-2a/b,通分,得(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b=(2b^3+3ab^2-3a^2b-2a^2)/[(a+b)ab]=(2b+a)(b+2a)(b-a)/[(a+b)ab]....