求级数∑x^n/n!的和函数除了用e^x展开这个方法还有其他方法吗?比如我本来不知道e^x可以展开成那样,那我就要用其他方法了.

Question

求级数∑x^n/n!的和函数除了用e^x展开这个方法还有其他方法吗?比如我本来不知道e^x可以展开成那样,那我就要用其他方法了.

Answer 1

可以用求导,微分方程法：
y=∑x^n/n!
y'=∑x^(n-1)/(n-1)!=y
解微分方程：y'=y, 即dy/dx=y
即dy/y=dx
ln|y|=x+c1
y=ce^x
由y(0)=1, 得：c=1
故y=e^x