大学线性代数问题：设u和v是正交的非零实向量证明:方阵A=UV^T的特征值只能为零,且A不可对角

Question

大学线性代数问题：
设u 和 v 是正交的非零实向量 证明 :方阵 A = UV^T的特征值只能为零,且A不可对角

Answer 1

U,V正交,则V^T U=0,所以A^2=(UV^T)(UV^T)=U(V^T U)V^T=0.设k是A的特征值,则k^2=0,所以k=0,A的n个特征值都是0.
A的秩是1,所以方程组Ax=0的基础解系有n-1个向量,即A的属于n重特征值0的线性无关的特征向量只有n-1个,所以A不可对角化.