当指数是无理数时,我们应当如何理解它

Question

当指数是无理数时,我们应当如何理解它

Answer 1

无理数可以作为一列有理数的极限.
所以可以将无理数指数理解为相应的一列有理数指数的极限.
例如考虑2^a(2的a次方),其中a是一个无理数.
可以取一列有理数{a_n}收敛到a（这需要理解极限的含义）,
则相应地得到一列有理数指数{2^(a_n)}.
根据实数的性质可以证明：
1）这是一个收敛数列,因而极限存在,暂时记为X；
2）取不同的有理数列{b_n},只要收敛到a,则{2^(b_n)}必收敛到X.
根据这两条结论,就可以定义2^a=X.