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有一百名小运动员所穿运动服的号码恰是从1到100这一百个自然数,问从这100名运动员中至少要选出人,才能使在被选出的人中必有两人,他们运动服的号码数相差9?请说明你的理由.
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有一百名小运动员所穿运动服的号码恰是从1到100这一百个自然数,问从这100名运动员中至少要选出______人,才能使在被选出的人中必有两人,他们运动服的号码数相差9?请说明你的理由.
▼优质解答
答案和解析
若选出54个人,他们的号码是1,2,8,9,19,20,26,27,37,38,44,45,55,56,62,63,73,74,80,81,91,92,98,99.的时候,任两个人号码数之差均不等于9.
可见,所选的人数必≥55才有可能.
我们证明,至少要选出55人时一定存在两个运动员号码之差恰是9.
被选出的55人有55个不同号码数,由于55=6×9+1,所以其中必有7个号码数被9除余数是相同的.但由1-100这一百个自然数中,被9除余数相同的数最多为12个数.因此7个数中一定有两个是“大小相邻”的,它们的差等于9.
所以至少要选出55名小运动员,才能使其中必有两人运动服的号码数相差9.
故答案为55.
可见,所选的人数必≥55才有可能.
我们证明,至少要选出55人时一定存在两个运动员号码之差恰是9.
被选出的55人有55个不同号码数,由于55=6×9+1,所以其中必有7个号码数被9除余数是相同的.但由1-100这一百个自然数中,被9除余数相同的数最多为12个数.因此7个数中一定有两个是“大小相邻”的,它们的差等于9.
所以至少要选出55名小运动员,才能使其中必有两人运动服的号码数相差9.
故答案为55.
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