试确定形如u=f（x／y）的调和函数

Question

试确定形如u=f（x／y）的调和函数

Answer 1

令v=x/y,则u'x=f'/y,u''xx=f''/y^2,u'y=-xf'/y^2,u''yy=(2xf''/y^3)+(x^2)f''/y^4,由于调和函数满足拉普拉斯方程u''xx+u''yy=0,整理后得(x^2/y^2+1)f''+(2x/y)f'=0,即(v^2+1)f''+2vf'=0,这是可降次的微分方程,令p=f',则(v^2+1)(dp/dv)+2vp=0,分离变量后积分得lnC1p=ln(1/v^2+1),即C1p=1/(v^2+1).因此C1(df/dv)=1/(v^2+1),再次分离变量积分有C1f=arctanv+C2,两边除C1并记1/C1=m,C2/C1=n,则f=marctanv+n,即型如u=f(x/y)调和函数的一般形式为u=m*arctan(x/y)+n.