如果一个人从地表一直往下掉,要多久才能到地心?

Question

如果一个人从地表一直往下掉,要多久才能到地心?

Answer 1

假设地球为密度均匀的实心球(实际上密度随着接近地心而增大),且地球质量M,物体质量为m,地球半径为r,万有引力常数为G
依球壳原理,物体离地心x(r>x)处仅受半径为x的部分的重力影响,外壳对于物体的净力为零
故物体在离地心x处,所受的重力Fx=G(Mx)m/x²,其中Mx=(x/r)³M
⇒Fx=(GMm/r³)x--------------符合简谐运动模式
⇒Fx=kx=(GMm/r³)x,k为常数
⇒k=GMm/r³
⇒周期T=2π√(m/k)=2π√(r³/GM)≈5061.274206(秒)≈84.3545701(分)
其中r=6.371×10^6m,G=6.67×10^(-11),M=5.975×10^24kg
而由地表至地心为1/4个周期,所以只要约21分钟即可到地心!