一元函数微分学和不定积分的问题,懂的,就帮我把吧!1.积分√xdlnx=积分（1/√x）dx?怎么得出来?2.要造一个圆柱形油罐,体积为V,问底半径x和高h分别为多少时,才能使其表面积最小?3.设矩形的周

Question

一元函数微分学和不定积分的问题,懂的 ,就帮我把吧!
1.积分√xdlnx=积分（1/√x）dx?怎么得出来?
2.要造一个圆柱形油罐,体积为V,问底半径x和高h分别为多少时,才能使其表面积最小?
3.设矩形的周长为120厘米,以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体.试求矩形的边长为多少,
才能是圆柱体的体积最大?
4.以直的河岸为一边用篱笆围出一长方形场地,现有48米长的篱笆,问如何选择长,
才能使场地面积最大?

Answer 1

第一题：
因为微分dlnx＝（1/x）dx,
（这个式子可以理解为：lnx的导数,(dlnx)/(dx)＝1/x,两边同乘以dx.）
所以∫√xdlnx＝∫√x×（1/x）dx＝∫（1/√x）dx.
第二题：
油罐的底面半径是x,则底面积是πx²,所以体积V＝πx²h.
设表面积是S,因底面周长C＝2πx,可知侧面积为2πxh,于是S＝2πxh＋2πx²
考虑到h＝V/（πx²）,代入则有：
S＝2πxV/（πx²）＋2πx²＝2V/x＋2πx²
求导：
S’＝4πx－2V/x².
令导数S’＝0,得到x³＝V/（2π）,于是x＝r,其中r＝三次根号下（V/（2π））
在0＜x＜r时,S’＜0；在x＞r时,S’＞0,从而x＝r是S的唯一极小值点.
因此所求的底面半径x＝r,
此时高h＝V/（πr²）,具体是多少自己算一下吧.
第三题：
设矩形旋转轴的长为a,另一边的长为b,由题意可知2a＋2b＝120,单位cm就不写了.
这样a＝60－b.考虑到a＞0,b＞0,可求得0＜b＜60.
因为a为轴,那么这个圆柱体的高就是a,且底面半径是b,其体积为：
V＝πb²a＝πb²（60－b）＝60πb²－πb³.
求导,有：
V’＝120πb－3πb²＝3πb（40－b）.
令V’＝0,可得b＝0（不满足b＞0,舍去）以及b＝40.
在0＜b＜40时,V’＞0；在40＜b＜60时,V’＜0,从而在b＝40时V有唯一极大值.
此时a＝60－b＝20.
所以在矩形边长是20cm和40cm时圆柱体体积最大.
第四题：
设场地的长是p,宽q,由题意可知p＋2q＝48,同上题,单位m不写了.
于是p＝48－2q.根据p＞0及q＞0可得0＜q＜24.
场地面积为S＝pq＝（48－2q）q＝48q－2q².
求导,得S’＝48－4q.
令S’＝0,可得q＝12.
在0＜q＜12时S’＞0；在12＜q＜24时S’＜0.从而当q＝12时S有唯一极大值.
此时p＝48－2q＝24.
所以应当选择的长为24m,宽为12m.