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一种药在病人血液中的含量不低于2克时,它才能起到有效治疗的作用,已知每服用m(1≤m≤4且m∈R)个单位的药剂,药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系式近似为y

题目详情
一种药在病人血液中的含量不低于2克时,它才能起到有效治疗的作用,已知每服用m(1≤m≤4且m∈R)个单位的药剂,药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系式近似为y=m•f(x),其中f(x)=
10
4+x
0≤x<6
4-
x
2
6≤x≤8

(1)若病人一次服用3个单位的药剂,则有效治疗时间可达多少小时?
(2)若病人第一次服用2个单位的药剂,6个小时后再服用m个单位的药剂,要使接下来的2小时中能够持续有效治疗,试求m的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵m=3,∴y=
30
4+x
,0≤x<6
12-
3x
2
,6≤x≤8

当0≤x<6时,
30
4+x
>
30
4+6
=3>2;
当6≤x≤8时,12-
3
2
x≥2得,x≤
20
3

故若病人一次服用3个单位的药剂,则有效治疗时间可达
20
3
小时.
(2)当6≤x≤8时,y=2(4-
1
2
x)+m[
10
4+x-6
]
=8-x+
10m
x-2

∵8-x+
10m
x-2
≥2对6≤x≤8恒成立,
故m≥
x2-8x+12
10
对6≤x≤8恒成立,
令g(x)=
x2-8x+12
10

则g(x)在[6,8]上是增函数,
故gmax(x)=
6
5

故m≥
6
5

故m的最小值为
6
5
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