06年湖北理数学题关于x的方程（x的平方—1）的平方—|x平方—1|+k=0,给出下列四个命题①存在实数k,使方程恰有2个不同的实根②存在实数k,使方程恰有4个不同的实根③存在实数k,使方程恰有

Question

06年湖北理数学题
关于x的方程（x的平方—1）的平方—|x平方—1|+k=0,给出下列四个命题
①存在实数k,使方程恰有2个不同的实根
②存在实数k,使方程恰有4个不同的实根
③存在实数k,使方程恰有5个不同的实根
④存在实数k,使方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是（）
A0 B1 C2 D3

Answer 1

（x²—1)²—|x²—1|+k=0
设:x²—1=a,则有:
a²—|a|+k=0
有两种情况:
①a²—a+k=0
a=-(-1)±√(-1)²-4×1×k/2×1
=1±√1-4k/2≥0
将a=1±√1-4k/2代入x²—1=a中,则有:
①x²—1=1+√1-4k/2
x²=1+√1-4k/2+1
x²=√1-4k/2+2
x=±√√1-4k/2+2
②x²—1=1-√1-4k/2
x²=1-√1-4k/2+1
x²=-√1-4k/2+2
x=±√-√1-4k/2+2
②a²—(-a)+k=0
a²+a+k=0
a=(-1)±√1²-4×1×k/2×1
=(-1)±√1-4k/2≥0
将a=(-1)±√1-4k/2代入x²—1=a中,则有:
①x²—1=(-1)+√1-4k/2
x²=(-1)+√1-4k/2+1
x²=√1-4k/2
x=±√√1-4k/2
②x²—1=(-1)-√1-4k/2
x²=(-1)-√1-4k/2+1
x²=-√1-4k/2
x=±√-√1-4k/2
综上所述,有两种可能:
①1±√1-4k/2≥0
②(-1)±√1-4k/2≥0
∴①存在实数k,使方程恰有2个不同的实根
②存在实数k,使方程恰有4个不同的实根
③存在实数k,使方程恰有5个不同的实根
④存在实数k,使方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是（D）
A0 B1 C2 D3
∴②存在实数k,使方程恰有4个不同的实根是真命题.