看书时出现一问题,单调集列一定是收敛的,我认为是错误的,可书上是这么写的,求专业人士解惑.单调集列收敛要求上限集和下限集相等,但单调集列递增的时候有时候也不一定上限集和下限集

Question

看书时出现一问题,单调集列一定是收敛的,我认为是错误的,可书上是这么写的,求专业人士解惑.
单调集列收敛要求上限集和下限集相等,但单调集列递增的时候有时候也不一定上限集和下限集相等,例如n=1,2,3,…,An=[1,2+n],那么An的上限集应该是[1,+∞）,而下限集应该是[1,3],显然An是一单调递增集列,那么就应该不收敛啊.

Answer 1

按照定义,An的上下限集应该是∩∪An, ∪∩An,并不是你想的∪An, ∩An.在看实变函数吗?再仔细对一遍定义.