（2011•武昌区模拟）如图（1）是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条对角线，请在图（2）的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下面问题．（1）求证：MN∥平面PBD；（2）求证：A

Question

（2011•武昌区模拟）如图（1）是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条对角线，请在图（2）的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下面问题．
（1）求证：MN∥平面PBD；
（2）求证：AQ⊥平面PBD；
（3）求二面角P-DB-M的大小．

Answer 1

M、N、Q、B的位置如图示．
（1）∵ND∥MB且ND=MB
∴四边形NDBM为平行四边形
∴MN∥DB（3分）
∴BD⊆平面PBD，MN⊄平面PBD
∴MN∥平面PBD（4分）
（2）∵QC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥QC（5分）
又∵BD⊥AC，
∴BD⊥平面AQC（6分）
∵AQ⊂面AQC
∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，
∵BD∩PB=B
∴AQ⊥面PDB（8分）
（3）分别取DB、MN中点E、F连接PE、EF、PF（9分）
∵在正方体中，PB=PD
∴PE⊥DB（10分）
∵四边形NDBM为矩形
∴EF⊥DB
∴∠PEF为二面角P-DB-M为平面角（11分）
∵EF⊥平面PMN
∴EF⊥PF
设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中
∵EF=a，PF=(√(2))/(2)a
∴tan∠PEF=(PF)/(EF)＝(√(2))/(2)
∠PEF=arctan(√(2))/(2)（13分）