在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,F,F,E分别为AD,PC的中点求点E到平面PFB的距离

Question

在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,F,F,E分别为AD,PC的中点
求点E到平面PFB的距离

Answer 1

用体积法.
先求F点到平面PCB的距离h.
为此考察三棱锥P-BCF.以三角形BCF为底,其底面积为:2,高为:2,故
易知其体积为V=(1/3)*2*2=4/3.
再以三角形PBC为底,PBC为直角三角形,BC=2,BC=2根号2.
故底面积为:S =(1/2)*2*(2根号2)=2根号2.
故又有V=(1/3)*2(根号2)*h.求得h = 3V/(2根号2)=根号2.(***)
下面转而讨论四面体:PFBE.先以三角形PEB为底,其高仍为上述h=根号2.
三角形PEB的面积S1为三角形PCB面积S的(1/2),即为:S1=根号2.
故四面体PFBE的的为V1= (1/3)(根号2)(根号2)=2/3.
再以三角形PBF为底,则其高即为点E到平面PBF的距离d.
求得PB=2根号3,PF =BF = 根号5.
Cos角PBF =[12]/[2*2(根号3)*根号5]=3/根号15.
Sin角PBF= 根号(6/15)
故三角形PEB的面积为:(1/2)*(根号5)*(2根号3)*(根号2/5).= 根号6.
从而又得四面体PFBE的体积V1=(1/3)(根号6)*d.
得:d=3*(2/3)/根号6=(根号6)/3.
即:点E到平面PFB的距离为d=(根号6)/3