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(2014•南宁三模)如图所示,质量为M的长滑块静止在光滑水平面上,左端固定一劲度系数为k且足够长的水平轻质弹簧,右侧用一不可伸长的细绳连接于竖直墙上,细绳子能承受的最大拉力

题目详情
(2014•南宁三模)如图所示,质量为M的长滑块静止在光滑水平面上,左端固定一劲度系数为k且足够长的水平轻质弹簧,右侧用一不可伸长的细绳连接于竖直墙上,细绳子能承受的最大拉力为FT,使一质量为m、初速度为V0的小物体,在滑块上无摩擦地向左滑动而后压缩弹簧,弹簧的弹性势能表达式为EP=
1
2
kx2(k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量).
(1)要使细绳被拉断,初速度V0应满足什么条件?
(2)长滑块在细绳被拉断后,所获得的最大加速度为多大?
(3)小物体最后离开滑块时,相对地面速度恰好为零的条件是什么?
▼优质解答
答案和解析
(1)设弹簧压缩量为x1时,绳被拉断,即
kx1=FT                   ①
压缩弹簧过程动能转化为弹性势能,依题意有
1
2
k
x
2
1
1
2
m
v
2
0
           ②
联立解得:v0>
FT
km
      ③
(2)设绳被拉断瞬时,小物体的速度为V1,有
1
2
k
x
2
1
+
1
2
m
v
2
1
1
2
m
v
2
0
     ④
绳断后长滑块加速,小物体减速,当两者速度相等时,弹簧压缩量最大为x2,长滑块有向左的最大加速度am,此过程动量守恒,有:
mv1=(M+m)v2               ⑤
根据机械能守恒,有:
1
2
k
x
2
2
+
1
2
(M+m)
v
2
2
1
2
k
x
2
1
+
1
2
m
v
2
1
     ⑥
由牛顿第二定律得:kx2=Mam              ⑦
联立①④⑤⑥⑦解得:am=
1
M
kMm
v
2
0
+m
F
2
T
M+m
 ⑧
(3)要使小物体离开长滑块时相对地面速度为零,即弹簧恢复原长时小物体速度为零,此时长物块速度为v.在绳断开至弹簧恢复原长过程中,动量守恒,能量守恒,故有
Mv=mv1           ⑨
1
2
Mv2=
1
2
k
x
2
1
+
1
2
m
v
2
1
 ⑩
联立①④⑨⑩解得:m−M=
F
2
T
k
v
2
0
      (11)
由于
v
2
0
>0,必有m>M    
所以小物体最后离开滑块时,相对地面速度恰好为零的条件是m>M且满足m−M=
F
2
T
k
v
2
0

答:(1)要使细绳被拉断,初速度V0应满足v0>
FT
km
的条件;
(2)长滑块在细绳被拉断后,所获得的最大加速度为
1
M
kMm
v
2
0
+m
F
2
T
M+m

(3)小物体最后离开滑块时,相对地面速度恰好为零的条件是m>M且满足m−M=
F
2
T
k
v
2
0
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