（2013•东营）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，-1）．（1）求抛物线的解析式；（2）在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求

Question

（2013•东营）已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，-1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．
（3）在（2）的基础上，设直线x=t（0＜t＜10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．

Answer 1

（1）∵抛物线的顶点是A（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）²．
由抛物线过B（0，-1）得：4a=-1，
∴a＝−(1)/(4)，
∴抛物线的解析式为y＝−(1)/(4)(x−2)2．
即y＝−(1)/(4)x2+x−1．

（2）如图1，设C的坐标为（x，y）．
∵A在以BC为直径的圆上．∴∠BAC=90°．
作CD⊥x轴于D，连接AB、AC．
∵∠OAB+∠DAC=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
∵∠BOA=∠ADC=90°，
∴△AOB∽△CDA，
∴(OB)/(AD)＝(OA)/(CD)
∴OB•CD=OA•AD．
即1•|y|=2（x-2）．∴|y|=2x-4．
∵点C在第四象限．
∴y=-2x+4，
由

y＝−2x+4

y＝−(1)/(4)x2+x−1

，
解得

x1＝10

y1＝−16

，

x2＝2

y2＝0

．
∵点C在对称轴右侧的抛物线上．
∴点C的坐标为 （10，-16），
∵P为圆心，∴P为BC中点．
取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．
∴PH=(1)/(2)（OB+CD）=(17)/(2)．
∵D（10，0）∴H（5，0）
∴P （5，-(17)/(2)）．
故点P坐标为（5，-(17)/(2)）．

（3）如图2，设点N的坐标为（t，-(1)/(4)t²+t-1），直线x=t（0＜t＜10）与直线BC交于点M．
S△BMN＝(1)/(2)MN•t，S△CMN＝(1)/(2)MN•(10−t)，
所以S△BCN＝S△BMN+S△CMN＝(1)/(2)MN×10，
设直线BC的解析式为y=kx+b，直线BC经过B（0，-1）、C （10，-16），
所以

b＝−1

10k+b＝−16

成立，
解得：

k＝−(3)/(2)

b＝−1

，
所以直线BC的解析式为y＝−(3)/(2)x−1，则点M的坐标为（t，-(3)/(2)t-1），
MN=(−(1)/(4)t2+t−1)−(−(3)/(2)t−1)=−(1)/(4)t2+(5)/(2)t，
S△BCN＝(1)/(2)(−(1)/(4)t2+(5)/(2)t)×10，
=−(5)/(4)t2+(25)/(2)t
=−(5)/(4)(t−5)2+(125)/(4)，
所以，当t=5时，S_△BCN有最大值，最大值是(125)/(4)．