（2011•潍坊二模）已知函数f（x）=a（x-1x）-2lnx，g（x）=x2．（I）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）的图象在其一公共点处存在公切线，

Question

（2011•潍坊二模）已知函数f（x）=a（x-(1)/(x)）-2lnx，g（x）=x²．
（I）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）的图象在其一公共点处存在公切线，证明：a＝2e(a2)/(8)−1．

Answer 1

（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′(x)＝a+(a)/(x2)−(2)/(x)=(ax2−2x+a)/(x2)．
要使函数f（x）在其定义域上为增函数，f'（x）≥0恒成立，即ax²-2x+a≥0，在（0，+∞）上恒成立．
即a≥(2x)/(x2+1)在（0，+∞）上恒成立．
因为(2x)/(x2+1)＝(2)/(x+(1)/(x))≤(2)/(2)＝1，当且仅当x=1时取等号，所以a≥1．
（Ⅱ）因为函数的导数为f′(x)＝a+(a)/(x2)−(2)/(x)=(ax2−2x+a)/(x2)，
g'（x）=2x，令(ax2−2x+a)/(x2)＝2x，
即2x³-ax²+2x-a=0，所以x²（2x-a）+2x-a=0，即（x²+1）（2x-a）=0，
所以2x-a=0，x=(a)/(2)．
因为f（x）=a（x-(1)/(x)）-2lnx，
则f((a)/(2))＝a((a)/(2)−(2)/(a))−2ln(a)/(2)＝(1)/(2)a2−2ln(a)/(2)−2，
对于g（x）=x²．则g((a)/(2))＝(a2)/(4)．
因为g((a)/(2))＝f((a)/(2))，所以(1)/(2)a2−2ln(a)/(2)−2＝(a2)/(4)，即a