（2014•南通模拟）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4．已知凹槽的强度与

Question

（2014•南通模拟）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4．已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为√(3)，设AB=2x，BC=y．

（1）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；
（2）求当x取何值时，凹槽的强度最大．

Answer 1

（1）易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为πx．
所以4=2x+2y+πx，（2分）
得y＝(4−(2+π)x)/(2)（3分）
依题意知：0＜x＜y
得0＜x＜(4)/(4+π)
所以，y＝(4−(2+π)x)/(2)（0＜x＜(4)/(4+π)）．（6分）

（2）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有
T＝√(3)S＝√(3)(2xy−(πx2)/(2))（8分）
=√(3)(2x⋅(4−(2+π)x)/(2)−(πx2)/(2))
=√(3)[4x−(2+(3π)/(2))x2]
=−(√(3)(4−3π))/(2)(x−(4)/(4+3π))2+

8

作业帮用户 2016-12-07 举报

问题解析

（1）由“其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4”建立模型，再根据四边形ABCD是矩形求得定义域．
（2）先求得横断面的面积，再由“凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为√(3)”建立模型，再用二次函数法求得最值．

名师点评

本题考点：

函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．

考点点评：

本题主要考查数学建模型和解模型的能力，主要涉及了平面图形的周长，面积及在实际问题中模型的意义．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议