（2010•南通模拟）设数列{an}满足a1=a，an+1=an2+a1，M={a∈R|n∈N*，|an|≤2}．（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a∉M；（2）当a∈（0，14]时，求证：a∈M；（3）当a∈（14，+∞）时，判断元素a与集

Question

（2010•南通模拟）设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}．
（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a∉M；
（2）当a∈（0，(1)/(4)]时，求证：a∈M；
（3）当a∈（(1)/(4)，+∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）如果a＜-2，则|a1|=|a|＞2，a∉M．（2分）（2）当0＜a≤14时，|an|≤12（∀n≥1）．事实上，〔i〕当n=1时，|a1|＝|a|≤12．设n=k-1时成立（k≥2为某整数），则〔ii〕对n=k，|ak|≤|ak−1|2+a≤(12)2+14＝...