（2012•镇江）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一

Question

（2012•镇江）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　）

A．(1)/(3)×((1)/(2))5a
B．(1)/(2)×((1)/(3))5a
C．(1)/(3)×((1)/(2))6a
D．(1)/(2)×((1)/(3))6a

Answer 1

连接AD、DF、DB．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，
∵∠AFE=∠ABC=120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和RtAFD中

AF＝AB

AD＝AD

∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD=∠FAD=(1)/(2)×120°=60°，
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60°，

∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，
∴∠EDM=60°=∠M，
∴ED=EM，
同理AF=QF，
即AF=QF=EF=EM，
∵等边三角形QKM的边长是a，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是(1)/(3)a，即等边三角形QKM的边长的(1)/(3)，
过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，
则FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四边形FZNE是平行四边形，
∴EF=ZN=(1)/(3)a，
∵GF=(1)/(2)AF=(1)/(2)×(1)/(3)a=(1)/(6)a，∠FGI=60°（已证），
∴∠GFZ=30°，
∴GZ=(1)/(2)GF=(1)/(12)a，
同理IN=(1)/(12)a，
∴GI=(1)/(12)a+(1)/(3)a+(1)/(12)a=(1)/(2)a，即第二个等边三角形的边长是(1)/(2)a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是(1)/(3)×(1)/(2)a；
同理第第三个等边三角形的边长是(1)/(2)×(1)/(2)a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是(1)/(3)×(1)/(2)×(1)/(2)a；
同理第四个等边三角形的边长是(1)/(2)×(1)/(2)×(1)/(2)a，第四个正六边形的边长是(1)/(3)×(1)/(2)×(1)/(2)×(1)/(2)a；
第五个等边三角形的边长是(1)/(2)×(1)/(2)×(1)/(2)×(1)/(2)a，第五个正六边形的边长是(1)/(3)×(1)/(2)×(1)/(2)×(1)/(2)×

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