（2008•无锡）已知：如图，边长为a的正△ABC内有一边长为b的内接正△DEF，则△AEF的内切圆半径为36（a-b）36（a-b）．

Question

（2008•无锡）已知：如图，边长为a的正△ABC内有一边长为b的内接正△DEF，则△AEF的内切圆半径为

(√(3))/(6)（a-b）

(√(3))/(6)（a-b）

．

Answer 1

如图（1），⊙I是△ABC的内切圆，由切线长定理可得：AD=AE，BD=BF，CE=CF，
AD=AE=(1)/(2)[（AB+AC）-（BD+CE）]=(1)/(2)[（AB+AC）-（BF+CF）]=(1)/(2)（AB+AC-BC）．
在图（2）中，由于△ABC，△DEF都为正三角形，
∴AB=BC=CA，EF=FD=DE，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3；
∴△AEF≌△CFD；
同理可证：△AEF≌△CFD≌△BDE；
∴BE=AF，即AE+AF=AE+BE=a．
设M是△AEF的内心，MH⊥AE于H，
则AH=(1)/(2)（AE+AF-EF）=(1)/(2)（a-b）；
∵MA平分∠BAC，
∴∠HAM=30°；
∴HM=AH•tan30°=(1)/(2)（a-b）•(√(3))/(3)=(√(3))/(6)(a−b)．