（2014•商丘二模）已知函数f（x）=lnx-x-ax，a∈R．（1）当a=0时，求函数f（x）的极大值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）当a＞1时，设函数g（x）=|f（x-1）+x-1+ax−1|，若实数b满足：b＞a且

Question

（2014•商丘二模）已知函数f（x）=lnx-x-(a)/(x)，a∈R．
（1）当a=0时，求函数f（x）的极大值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）当a＞1时，设函数g（x）=|f（x-1）+x-1+(a)/(x−1)|，若实数b满足：b＞a且g（(b)/(b−1)）=g（a），g（b）=2g（(a+b)/(2)），求证：4＜b＜5．

Answer 1

函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
（1）当a=0时，f（x）=lnx-x，f′（x）=(1)/(x)-1，
令f′（x）=0得x=1．    …（1分）
列表：

x	（0，1）	1	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

所以f（x）的极大值为f（1）=-1．      …（3分）
（2）f′（x）=(−x2+x+a)/(x2)．
令f′（x）=0得-x²+x+a=0，记△=1+4a．
（ⅰ）当a≤-(1)/(4)时，f′（x）≤0，所以f（x）单调减区间为（0，+∞）； …（5分）
（ⅱ）当a＞-(1)/(4)时，由f′（x）=0得x₁=(1+√(1+4a))/(2)，x₂=(1−√(1+4a))/(2)，
①若-(1)/(4)＜a＜0，则x₁＞x₂＞0，
由f′（x）＜0，得0＜x＜x₂，x＞x₁；由f′（x）＞0，得x₂＜x＜x₁．
所以，f（x）的单调减区间为（0，(1−√(1+4a))/(2)），（(1+√(1+4a))/(2)，+∞），单调增区间为（

1−√(作业帮用户2017-10-03举报问题解析（1）求导数，利用极值的定义，可得函数f（x）的极大值；（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（3）先证明（a-1）（b-1）=1，进而可得b-1=[(1)/(2)((1)/(b−1)+b−1)]2．令b-1=t（t＞1），整理，得t3-3t2-t-1=0．记h（t）=t3-3t2-t-1，h（t）在（1，1+(2√(3))/(3)）单调减，在（1+(2√(3))/(3)，+∞）单调增，又因为h（3）＜0，h（4）＞0，即可得出结论．名师点评本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．考点点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查不等式的证明，难度大．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)