（2014•开封二模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=6，求二面角B-AC=A1的余弦值．

Question

（2014•开封二模）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A₁C=√(6)，求二面角B-AC=A₁的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AB中点O，连CO，OA₁，A₁B，
∵AB=AA₁，∠BAA₁=60°，
∴△A₁AB为正三角形，
∴A₁O⊥AB，
∵CA=CB，∴CO⊥AB，
∵CO∩A₁O=O，
∴AB⊥平面COA₁，
∵A₁C⊂平面COA₁，
∴AB⊥A₁C．
（Ⅱ）∵AB=CB=2，AB=AA₁，CA=CB，∠BAA₁=60°，
∴CO=A₁O=√(22−1)=√(3)，
∵A₁C=√(6)，
∴CO2+A1O2=A1C2，
∴OC⊥A₁O，
∵OC∩AB=O，∴A₁O⊥平面ABC，
建立如图空间直角坐标系O-xyz，
O（0，0，0），A（1，0，0），A1(0，√(3)，0)，C（0，0，√(3)），
设平面AA₁C的法向量为

n

＝(x1，y1，z1)，
则

作业帮用户 2017-11-16 举报

问题解析

（Ⅰ）取AB中点O，连CO，OA₁，A₁B，由题设条件推导出△A₁AB为正三角形，从而得到A₁O⊥AB，由CA=CB，得到CO⊥AB，由此能够证明AB⊥A₁C．
（Ⅱ）以OA为x轴，以OA₁为y轴，以OC为z轴建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角B-AC=A₁的余弦值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评：

本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议